乌鸦喝水趣谈
杨益民
《乌鸦喝水》的故事我们儿时就耳熟能详，它取自于《伊索寓言》，曾被选入小学语文课本。通过讲述一只乌鸦喝水的故事，来教导孩子们遇到困难不要轻言放弃，要勤于思考，充分发挥自己的聪明才智，善于运用身边可以利用到的任何东西帮助自己解决问题。
原以为这仅仅是一则寓言，然而今天却看到了一个真实的视频。视频不是《乌鸦喝水》，而是《喜鹊喝水》，但看到鸟儿真有这样的智慧，聪明极了，真是可爱漂亮，又有灵性的家伙。
联想到退休前若干年，我曾读到南京师范大学单尊教授的一篇关于“乌鸦喝水”的数学小品文，觉得有趣、有意思。于是回忆整理出来，供有兴趣的朋友一阅。
一、乌鸦喝水问题的抽象
把瓶子抽象为正方体，石子为同样大小的球体，而且石子在瓶中每层排列方法相同，都按正方形排列 ( 如下图 ) ：
即瓶中放n3个小球，每个小球都内切于一个小正方体。
下面我们首先证明：球体大小与球体占据正方体空间的总和无关。
考虑1个内切于大正方体的大球和1个内切于一个小正方体的小球。
设大立方体体积为 V，大球体积为 V大球 ；小立方体体积为 v，小球体积为 v小球 。显然，V大球 : V＝v小球 : v 。再由等比定理得：
于是球体所占空间的总和与瓶子体积之比为：
则空隙部分的体积与瓶子体积之比约为：48％。这表明：如果瓶子为正方体，石子为同样大小的球体，而且石子在瓶中每层排列方法相同，都按正方形排列，则瓶中水不足瓶子容积的48％时，乌鸦怎么扔石子也喝不到水。
二、开普勒猜想
1611年，著名物理学家开普勒在其著作《新年的礼物——论六角的雪花》中，提出了如下猜想：
开普勒猜想：在体积为V的箱中装半径为r球，其装箱密度的上确界（最小上界）为π/(3√2 )≈ 0.740480….，即
而且π/(3√2)是装箱密度的上确界（最小的上界）。
开普勒是如何思考的呢？
开普勒装箱方法：考虑一个边长为2的立方体；分别以它的8个顶点和6个面的中心为球心，作半径为√2 /2 彼此相切的球。则以8个顶点为球心所作的球，各有1/8在这个立方体中；而以6个面的中心为球心所作的球，各有1/2在这个立方体中，所以在立方体中共有4个整球。这4个球彼此相切。（如下图）
从而，装箱的密度为：
开普勒由此提出了前面所述的猜想。
注意：立方体里一个完整的球都没有，开普勒凭什么断言这个猜想呢？
考虑边长为2000的立方体(它由10003个边长为2的立方体组成)。显然，其中有很多半径为√2/2的完整的球（球心在各个边长为2的小立方体的顶点或各面的中心）。当然，在大立方体的边缘也有一些不完整的球。
进一步考虑充分大的立方体，这时这些不完整的球的总体积与中间那些完整的球的总体积相比是微乎其微的。当V与v 相比很大时，边缘的球可以忽略不计。基于同样的理由，容器(箱子)的形状也与装箱密度无关。
实际上，开普勒装箱方法是给出了当V→+∞时，装箱密度→π/(2√3）的一个实例，但他并没有给出任何装箱方法密度都不超过π/(2√3）的严格证明。所以这个结论只能是一个猜想。
极端化思维――当问题无法解决时，先考虑问题的极端情形，“开普勒猜想”就是极端化思维的结果。很多时候极端化思维或许能给我们启发与灵感，获得奇思妙想！
三、希尔伯特第18问题
开普勒的这个猜想已有400多年的历史，在20世纪数学界的亚历山大希尔伯特的23个问题中，它被列为第18个问题的第3部分。
希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23——1943.2.14）二十世纪上半叶世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪约六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。
希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，哥廷根的传统对世界数学的发展影响深远。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表文章称：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。
1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响。希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。
关于这个开普勒猜想，有不少数学家做了不少工作，但都只是逼近开普勒上界，好像至今还无人给出彻底的证明。
曾经美国加州大学伯克利分校的华裔教授项武义宣称，自己已经解决了开普勒猜想，并在多处报告这一结果。 项武义的文章正式发表后。有数学家在《美国数学评论》上对项武义的文章作了评论，认为：项武义的战略有成功的可能，但许多关键的细节没有可以接受的证明，项文的两个主要定理的证明均不完整。
我不知到现在有没有完整的证明发表。很可能开普勒猜想仍然还是猜想。
