陶哲轩：AI时代的数学

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这是陶哲轩最近的一个演讲的PPT的翻译文字和PDF。

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翻译文本：

《AI时代的数学》
Mathematics in the Age of AI
陶哲轩（Terence Tao）
2026年国际数学家大会（ICM）公众讲座
2026年7月24日

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AI 时代的数学

  • 2026 年国际数学家大会（ICM）公众讲座
  • 陶哲轩（Terence Tao）
  • 加州大学洛杉矶分校
  • 2026 年 7 月 24 日

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历史序幕：基础危机

  • 数百年来，数学一直依靠某种“朴素的”基础成功运作，而一些根本问题大多被交给哲学家思考，例如：
  • 什么是集合？
  • 什么是数？
  • 什么是无穷？
  • 数学的公理是什么？

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AI 时代的数学
但在 20 世纪初，罗素悖论（1901）和哥德尔不完备定理（1931）等发现，迫使实际从事数学研究的人重新审视自己对数学基础所作的那些隐含假设。

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基础危机的结果

  • 约 1900—1930 年的数学基础危机，是数学史上一个动荡时期。
  • 但它最终产生了极有价值的成果：一个明确、严谨而标准化的基础框架。
  • 当然仍有进一步改进的空间。
  • 不过，今天的数学基础已经经受了严格检验，成为数学研究可以信赖的环境。

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AI 时代的数学

  • 我相信，我们正在进入一个同样动荡的时期——这一次，是关于数学的价值与实践之基础的危机。
  • 但只要我们认真审视这些基础，并把它们明确化、制度化，数学共同体最终会比过去更强大、更有韧性。
  • 注：这些幻灯片中的所有破折号都是人类生成的。

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核心问题

  • 本次演讲聚焦于下面这个问题：【共同体回应问题】
  • 面对现代 AI 技术的出现，以及它们真实或声称具备的数学任务能力，数学共同体应该如何回应？
  • 这是整个共同体都需要回答的问题；我并不认为自己拥有全部答案。不过，我确实有一些看法。

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共同体回应问题

  • 数学共同体应该如何回应现代 AI 技术，以及它们真实或声称具备的数学能力？
  • 这并不是一个数学问题，而是一个元数学问题——同时也是政治、伦理与文化问题。
  • 不过，在本次演讲中，我会借用数学中精确而熟悉的语言，来澄清我想表达的观点。

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第一个子问题：AI 的能力

  • 对“共同体如何回应”这个问题的答案，关键取决于另一个子问题。我把它半形式化地写成一个“猜想”（更准确地说，是一族猜想）：【AI 能力猜想（模板）】
  • 在不久的未来，某些 AI 工具将在某种成本、某种程度的人类监督之下，在某些数学领域，以非平凡的成功率、并达到某种正确性和质量水平，完成某些研究级数学任务。
  • 这里反复出现的“某些 / 某种”，应当被看作占位符或“变量”。

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AI 能力猜想

  • 在不久的未来，某些 AI 工具将在一定成本和人类监督下，正确完成某些领域中的某些研究级数学任务，并达到非平凡的成功率与一定的正确性、质量标准。
  • 根据如何填写这些“占位符”，可以得到许多不同版本的猜想。
  • 今天我并不讨论这些版本之间的细微差别。
  • 我只粗略地区分这个猜想的“弱形式”和“强形式”。

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如果弱形式为假；如果强形式为真

  • 如果连 AI 能力猜想的弱形式都是假的，那么我们可以相对放心地认为 AI 工具对数学的长期意义有限，基本继续“照常运作”。
  • 但如果最强形式是真的，我们就很难维持现有的文化与实践——尤其当我们把“尽可能多地解决未解问题”这样的目标置于首位时。

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AI 时代的数学

  • 当 AI 能力猜想本身仍存在争议时，就很难围绕“共同体回应问题”展开建设性的讨论。
  • 因此，关于“AI 与数学”的大量争论，长期集中在：AI 能力猜想的哪些版本是真的？
  • 我自己也曾用许多讲座、文章和社交媒体帖子讨论这些问题。

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证据与偏差

  • 现在已经出现许多支持或反对不同版本 AI 能力猜想的数据点。
  • 但其中大多数并不是在受控的科学条件下收集的。
  • 公开证据尤其容易受到报告偏差和非科学激励的影响，而且一些重要成本与变量并未披露。
  • 此外，必须区分：某个版本的猜想是否为真，与我们是否希望它为真。

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AI 时代的数学

  • 尽管 AI 能力猜想对“共同体回应问题”极其重要，但今天的演讲并不打算讨论它。
  • 在能力问题上，我只简单提到最近 First Proof 挑战（1stproof.org）的结果。

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First Proof

  • First Proof 是对前沿 AI 模型与其运行框架的一项独立评估。
  • 每一“批”包含来自不同领域的 10 个全新的研究级数学问题。
  • 第二批于 2026 年 5 月 28 日，在受控科学条件下测试了四种 AI 系统。
  • 结果由专家从正确性和表述质量两方面进行评审。
  • 10 个问题中有 7 个，至少被一个团队解决到可发表质量。
  • 每道题的计算成本约为 10—1000 美元。
  • 未来还计划进行更多批次。

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能力猜想的“正交补”

  • 今天我要讨论的是“共同体回应问题”中与 AI 能力猜想近似“正交”的另一部分。
  • 因此，以下讨论建立在一个并不十分精确的工作假设上：【工作假设】
  • AI 能力猜想的一个相当强的版本为真：在相对不久的将来，AI 将能以合理的成功率、质量、人类监督程度和成本，完成相当比例的研究级数学任务。
  • 这里“合理”的精确定义，对今天的论证并不重要。

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工作假设

  • AI 工具将在相对不久的将来，以合理的成功率、质量、监督程度和成本，完成相当一部分研究级数学任务。
  • 接下来的演讲，请暂时假定这个工作假设成立。
  • 我并不是要求你希望、相信或接受它是真的；这只是一个条件分析。
  • 支持或反对这个工作假设的证据，与我接下来要讨论的问题是“正交”的。

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正交的子问题：我们的目标与价值

  • 一旦在工作假设成立的条件下思考，另一个更根本的问题就出现了：【目标与价值问题】
  • 数学共同体以及数学研究这项事业，究竟有哪些明确的目标、目的与价值？
  • 不仅包括我们向公众或资助机构宣示的显性目标，也包括我们在实践中真正追求的隐性目标。

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目标与价值问题

  • 数学共同体和数学研究事业的目标、目的与价值究竟是什么？
  • 过去，我们大体把这个问题交给人文学科，而自己专注于专业技术问题。
  • 如果工作假设成立，我们将不再拥有这种“奢侈”。
  • 但我认为，无论工作假设最终是否成立，对这个问题进行批判性的审视，本身都会非常有价值。

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我们的目标是什么？

  • 数学研究可以由许多不同理由加以辩护，例如：
  • 解决未解问题（纯数学与应用数学）。
  • 发展新的理论和技术。
  • 理解我们周围的世界。
  • 建设数学家共同体。
  • 培养下一代数学家，使他们能够引导未来的发展方向。
  • 为共享的数学知识网络作出贡献。
  • 创造具有持久审美价值的作品。
  • 等等。

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过去：这些目标大体彼此一致

  • 过去，这些目标之间大多呈正相关：在一个目标上取得进展，通常也会推动其他目标。
  • 因此，我们常常可以用其中一两个目标作为其他目标的代理指标。
  • 许多真正的目标甚至不必明确说出来。

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古德哈特定律

  • 所有指标一旦被过度优化，都可能落入古德哈特定律：【古德哈特定律（1975）】当一个衡量指标变成目标时，它就不再是一个好的衡量指标。
  • 生成式 AI 天生存在“缺乏真实锚定”的问题，再加上 AI公司的商业激励，使 AI 工具尤其容易受到这一定律的影响。

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目标可能开始分叉

  • 过度使用 AI 进行优化，事实上可能让数学中原本大体一致的多个目标彼此分离。
  • 例如：建立理论、解决奥赛题、解决 Erd s 问题、解决研究问题、应用知识、建设共同体、培养下一代、创造持久的审美作品……
  • 这些目标不再必然朝同一个方向前进。
  • 注：原图极度简化；真实情况应当是一个高得多维的空间。

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案例研究：问题求解

  • 下面我用数学研究中的“解决问题”这一部分来说明上述观点。
  • 必须强调：这不是数学职业的全部。
  • 例如，理论建构就是解决问题的重要互补面向，需要单独分析。
  • 不过，在工作假设之下，“问题求解”似乎尤其容易受到冲击。

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目标：第一次尝试

  • 假设我们把目标写成：【目标（第一次尝试）】尽可能多地解决未解问题。
  • 于是我们试图最大化这样一个网络中的流量：
  • 未解问题 →（证明生成）→ 解答。

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一个早已存在的风险

  • 即使在 AI 出现以前，我们也已经知道：若只优化“解决多少问题”这个指标，会有显著风险。
  • 例如，人们会不断提交大量对重大开放问题（如黎曼猜想）的错误“证明”。

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目标：第二次尝试

  • 于是我们更新目标：【目标（第二次尝试）】尽可能多地解决未解问题，并验证这些解答确实正确。
  • 流程变成：未解问题 → 未验证解答 → 已验证解答。
  • 其中分别对应“证明生成”和“证明验证”。

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证明生成与验证都在加速

  • AI 与自动形式化的发展——包括 Rocq、HOL、Lean 等证明助理语言——已经在许多场景中显著加快了证明生成和证明验证。
  • 如果工作假设成立，这种加速还会继续。
  • 但如果 AI 生成了一个很长的证明，却没有任何人——甚至包括最初提示 AI 的人——真正理解它，该怎么办？

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“正确，但没人真正懂”的证明？

  • 一些数学问题网站（例如 erdosproblems.com）已经收到几十份 AI 生成的证明投稿。
  • 其中许多可能是正确的，但尚无领域专家愿意验证并为它们背书。
  • 在一些案例中，提交者本人也声明自己没有能力做这种验证。
  • 于是一个问题出现了：我们会不会拥有一个已经被验证的重大定理证明，却没有任何人能把它理解到足以解释的程度？

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目标：第三次尝试

  • 因此，我们必须提高“阐释”的地位：【目标（第三次尝试）】尽可能多地解决未解问题，验证其正确性，并确保结果能够被数学共同体清楚地交流与理解。
  • 流程进一步变成：未解问题 → 未验证解答 → 已验证解答→ 表述良好的解答。

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AI 在证明阐释上的表现很复杂

  • 当前 AI 工具在证明阐释方面的表现非常参差。
  • 一方面，拼写、语法和格式几乎无可挑剔——甚至可以说“过于无可挑剔”。
  • 但另一方面，AI 往往在琐碎处长篇大论，却对论证中最有趣、最新颖的部分一带而过，甚至把它们遮蔽起来。
  • AI 生成文本也常常忽略与既有文献的联系，缺少对结果的高层次概览。

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阐释本身也可能被过度优化

  • 与证明验证相比，证明阐释是一个更“模糊”的优化目标。
  • 工作假设意味着 AI 很可能很快显著提升其阐释能力。
  • 然而，即便是阐释，也可能被过度优化。
  • 一个证明可能被写得过于光滑，使例行步骤和真正困难的步骤看起来同样容易消化。

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“自然摩擦”可能是有价值的

  • 在人类写的证明中，作者真正觉得困难的地方，往往会残留某种自然的“摩擦”，促使读者放慢速度、更加专注。
  • 被 AI 过度润色的证明，可能同时消除了“人为摩擦”和“自然摩擦”，却没有真正帮助读者理解论证的核心思想。
  • 悖论在于：人类表述中的某些“不完美”，最终反而可能对读者有帮助。

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一篇留下学习痕迹的论文

  • 图中是 Bourgain 1991 年的一篇论文，上面有年轻得多的陶哲轩当年的大量手写批注。
  • 这些阅读痕迹本身提示我们：理解数学并不只是接收一个“光滑的最终文本”，而是一个需要停顿、摩擦、重构和内化的过程。

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William Thurston：《论数学中的证明与进步》（1994）
“我们的目的，并不是完成某种关于定义、定理和证明的抽象生产配额。衡量我们是否成功的标准，是我们的工作能否使人们更清楚、更有效地理解数学并进行数学思考。”

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正确、易读，还不够

  • 一个证明若要真正对更广泛的领域产生贡献，仅仅正确而且容易阅读是不够的。
  • 它还需要被共同体接受并赋予价值。
  • 其他数学家必须消化这个结果，并把它纳入自己的研究与思维结构。

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“消化”需要人的经验

  • 作者可以通过讲述自己解决问题时的洞见、路径和故事，帮助共同体消化结果。
  • 然而，当前 AI 工具对自己的问题求解过程非常不透明。
  • 对于内部机制属于企业秘密的专有模型，这一点尤其突出。

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目标：第四次尝试
【目标（第四次尝试）】解决未解问题，验证其正确性，确保它们得到清楚表达，并让结果被数学共同体消化和接受。

  • 流程现在增加了“证明发表/共同体接受”这一阶段。

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共同体接受：缓慢而且属于人

  • 共同体对一个结果的接受，本质上是缓慢的、人的过程。
  • 良好的阐释和谨慎的写作可以促进它。
  • 但它最终是一个外部过程，无法仅靠作者及其 AI 工具自身进行优化。

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被低估的同行评议

  • 当前的出版基础设施依赖人类编辑和审稿人自愿提供这种“共同体接受”服务。
  • 这种工作往往被认为不如首先生成证明本身有声望。
  • 但它是数学职业不可缺少的一部分。
  • 也正是通过这一环节，个别数学家的个人成就才能转化为共同体的进步与理解。

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AI 可以过滤，但不能替代共同体

  • AI 评估工具可以成为共同体接受过程中的有用过滤器。
  • 例如，期刊可以自动拒绝那些被标记为验证不足或表述不合格的论文。
  • 但这类工具不能完全取代共同体接受。

第 41 页
发表仍不是终点

  • 事实上，一个证明即使发表了，也不一定意味着这个解答已经到达最终状态。
  • 关键结果最终应该进入该领域的权威教材和参考体系，并被传授给下一代学生。

第 42 页
“经典化”最慢，却可能最有价值

  • 把一个证明“经典化”是所有阶段中最慢的。
  • 它需要共同体广泛、审慎的共识。
  • 这是最不容易被 AI 优化的阶段。
  • 但它可能也是整个过程最有价值的部分。
  • 许多应用只有在底层数学被充分消化之后才真正成为可能。
  • 事实上，AI 在数学上的成功，本身就依赖数百年来人类数学家辛苦建立起来的那些经典理论。

第 43 页
目标：最终版本？
【目标（最终尝试？）】解决未解问题；验证其正确性；确保清楚交流；并使结果被消化、接受，最终纳入该领域的权威理论体系。

  • 完整流程包括：证明生成、证明验证、证明阐释、证明发表、证明消化，以及证明的经典化。

第 44 页
从“证明稀缺”到“证明丰裕”

  • 如果工作假设成立，而政策和文化没有相应改变，那么整个流程中会出现严重的“阻抗失配”——或者说“证明消化不良”：
  • AI 生成的证明会大量堆积，等待验证；
  • 许多已经验证的 AI 证明会等待可读的写作；
  • 即使要求证明正确且写得好，AI 生成成果仍可能压垮传统同行评议系统；
  • 即使已经发表，数量也可能多到共同体无法把它们整理成权威形式。
  • 简言之，我们将从“证明稀缺”的时代进入“证明丰裕”的时代。
  • 这种消化不良的迹象已经出现；事实上，现代 AI 出现以前，压力就已经在积累。

第 45 页
从目标走向建议

  • 明确“解决问题”究竟有哪些目标，可以帮助我们理解如何应对这些新出现的阻抗失配。
  • Leiden Declaration（leidendeclaration.ai）是一个很好的起点；Jim Portegies 在 7 月 26 日的演讲中也会讨论它。

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建议一：让负责任的 AI 使用披露成为常态

  • 必须避免最坏的情形：作者私下使用 AI 协助研究，却因为担心同行批评而隐瞒。
  • 我们应当把对 AI 协助的负责任披露正常化、制度化。
  • 注：本演讲幻灯片中，AI 工具用于文字自动补全以及生成部分图示。

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建议二：降低“抢先证明”的权重

  • 我们需要降低对“证明生成”以及“第一个解决问题”的过度强调。
  • 与此同时，应提高“证明消化”的地位：包括阐释、发表和经典化。

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建议三：作者必须真正理解自己的结果

  • 我的经验性原则是：
  • 如果作者不能令人信服地证明自己能够就其结果作一场清晰、专家水平、内容正确并且恰当注明来源的报告，那么这个结果就不应发表。

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结束思考

  • 我用“问题求解”说明：如果工作假设成立，我们就不得不重新审视数学的目标与价值。
  • 但工作假设还可能影响许多其他方面：教学、导师制、招聘、基金申请、公众传播等等。
  • 我们也应当对这些方面进行类似的分析。

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不同领域需要不同的 AI 规范

  • 在许多领域——特别是教育和训练——我们必须强调工作的“人”的一面，并严格限制 AI 工具的使用。
  • 在另一些领域，我们则需要主动定义 AI 的最佳实践，以我们自己的方式把这些工具纳入工作流。
  • 我们还需要新的工作流和基础设施来补充传统体系；不过那将是另一场演讲。
  • 数学共同体需要走到一起，围绕 AI 能力以及我们自身的目标与价值，展开开放而诚实的讨论。

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AI 时代的数学
（原幻灯片过渡页）

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一些新的工作流与基础设施

  • Mathlib：mathlib.org
  • Mathematical Discourse：待公布（TBA）
  • 厄多斯问题：erdosproblems.com
  • 优化常数数据库：github.com/teorth/optimizationproblems
  • SAIR 竞赛：competition.sair.foundation/competitions
  • 谢谢大家！
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