数学500年：新的黄金时代？(3)

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500 Years of Mathematics: Are We Living In A New Golden Age?

 作者：Chris Budd, University of Bath

3.

如果有人问这500年来哪个数学领域是最有用的，那么答案或许是线性代数，它是许多工程学、物理学、甚至商业等领域的数学基石。没有线性代数，我们就无法飞行，也无法预测经济、天气，甚至无法经营工厂、在线购物等。线性代数计算是全世界各地的计算机每天都要进行的大部分计算，它是互联网背后的动力。只可惜，它在数学领域的魅力并不那么为公众所知。

早在16世纪，线性代数就涉及到求解具有多个变量的方程问题。前文提到的三次方程和和二次方程都只涉及到一个变量x，如果我们有两个变量x和y那又会怎么样？举个例子，爸爸比儿子大32岁，现在他们总共86岁，求他们现在各自多少岁。

这是一个我们可以轻易揭开的小学应用题，最直接的方法是设两个未知数：爸爸x岁，儿子y岁，从方程组x – y = 32和x + y = 86中算得答案。

虽然上面的方法可以轻松地解决这个问题，但它很难将其推广应用于解决包含更多未知数的问题。要做到这一点，我们就需要矩阵和线性代数了。这些问题背后的数学原理是于19世纪由凯利（Cayley）发展的，当时他在考虑如何让一组数字线性映射到另一组数字。我们再以上面的年龄问题为例，假入我们设x – y=a, x + y = b，那么这就等于完成了从 (x,y) 到 (a,b) 的映射。凯利用矩阵方程的形式来表示这种映射。

用矩阵来表述方程求解问题。

这里的A是一个2×2的矩阵，这种形式的矩阵方程在几何中表示平面的变换。3×3的矩阵则可以代表了在空间中的变换，这正是计算机图形学中用来执行动画的矩阵方程。4×4的矩阵则可以表示时空的变换，这便是狭义相对论的数学基础。

通过矩阵求逆，我们可以得到问题的解：

通过矩阵求逆来求解。

A⁻¹是矩阵A的逆矩阵。同样的方法甚至可以用于解决含有数十亿个未知数的问题。这一过程也成为了现代科学与技术得以出现和发展的一个重大前提。时至今日，科学家与数学家仍在努力发展用于求解矩阵求逆的算法，以更高效地解决我们社会所面临的诸多日常问题。

(未完待续）

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