李杨 Ising 模型零点定理与黎曼零点猜想——同与不同

摘要

黎曼 ζ 函数的零点是数学中最著名的谜团之一。物理学里也有一类零点，它们被一个 1952 年的定理“钉”在一条直线上。本文介绍一项把这两件事放在一起的工作：把素数装进一块磁铁，看它的零点会怎样排列。零点自动落在“临界线”上，这一点并不意外；真正的新结果是，我们可以精确地数出它们，并且完整地描述数错的那一部分有多大、怎样涨落。这个“玩具”在某些方面与 ζ 函数惊人地相似，在另一些方面又截然不同。弄清楚相似与不同各在哪里，正是这项工作的目的。

1 从黎曼猜想说起

1859 年，黎曼研究素数的分布时，引入了后来以他命名的 ζ 函数。这个函数有无穷多个“零点”，即让函数取值为零的复数。黎曼猜测，除去一些平凡的零点，其余零点全都落在复平面上的一条竖线上，这条线叫临界线。一个半多世纪过去，人们用计算机验证了数以万亿计的零点，全都在线上，但一般的证明至今没有找到。

除了零点在哪里，数学家同样关心零点有多少。在临界线上从下往上数，到高度 T 为止的零点个数，有一个很好的近似公式，它随 T 稍快于线性地增长。公式与真实个数之间总有一点偏差，这个“数错的部分”上下抖动，没有规律可循。1946 年，挪威数学家 Selberg 证明了一个漂亮的结果：如果在很高的地方随机挑一个高度，这个偏差的分布近似一条钟形曲线（正态分布），

2 磁铁里的零点 

而且钟形的宽度随高度增加得极慢。1970 年代，人们又发现零点之间的间距服从随机矩阵的统计规律：零点彼此“排斥”，很少挤在一起。

这些事实让很多人相信：ζ 函数的零点背后也许藏着某个物理系统。如果能找到这个系统，也许就能“看见”零点为什么必须在临界线上。

物理学里恰好有一个零点被钉在一条线上的著名定理。想象一块磁铁由许多小磁针组成，每根磁针只能朝上或朝下，相邻的磁针喜欢指向同一方向。这就是物理学家熟悉的 Ising 模型。它的全部热力学性质都包含在一个叫配分函数的量里。配分函数是外加磁场的函数；如果允许磁场取复数值，配分函数也会有零点。

1952 年，李政道与杨振宁证明：只要磁针之间是“铁磁”的（即都喜欢同向），配分函数的零点就全部落在一个圆上。换一种坐标，这个圆就是一条直线。这就是 Lee–Yang 定理，图 1 是一个例子。这个定理在统计物理中非常重要：零点怎样逼近实轴，决定了相变何时发生。

图 1: 一块 10 × 10 的二维磁铁的配分函数零点。无论温度高低，零点都整齐地排在单位圆上。温度降低时，零点向实轴上的点 z = 1（红星）靠拢，这预示着相变。

Lee–Yang 定理与黎曼猜想看上去很像：一个说零点在一个圆上，一个说零点在一条线上。很多数学家和物理学家都试图把两者联系起来。本文介绍的工作也从这里出发，但目标更朴素：不去证明什么猜想，而是造一个两者都“沾边”的模型，看看相似能走多远。

3 把素数装进磁铁

做法很简单。取 N 根磁针，让第 i 根磁针感受到的外磁场，与第 i 个素数的对数 log pi 成正比：第一根对应 2，第二根对应 3，第三根对应 5，依此类推。所有磁场由同一个复参数控制。这样做的效果是，配分函数的形状变得很像 ζ 函数的“欧拉乘积”：ζ 函数正是由每个素数贡献一个因子乘起来的。由 Lee–Yang 定理，这个模型的零点全部落在一条竖线上，而且恰好就是ζ 函数的临界线。这听起来像是一个惊人的巧合，其实不是。Lee–Yang 定理对任何正的磁场强度都成立，用素数的对数、用整数、用随机数都一样；零点在临界线上是“免费”得到的，不携带任何关于素数的信息。所以这个模型不能拿来证明黎曼猜想，论文对此有明确的说明。真正有意思的问题是下一个：零点在线上有多少，怎样分布？

4 数零点：一个精确的公式

在临界线上，从高度 0 数到高度 T ，模型有多少个零点？

平均值很简单。 可以把每根磁针想象成一根在钟面上匀速转动的指针，转速与它对应素数的对数成正比。磁针之间没有相互作用时，每根指针每转一圈，就贡献一个零点。所以零点个数平均来说随高度线性增长，增长率等于所有素数对数之和。比如取前十个素数，到高度 50 为止大约有 360 个零点；作为对比，ζ 函数在同一范围内只有 10 个零点。

误差有一个精确的表达式。 磁针之间有相互作用时，零点个数不再恰好等于平均值。本工作的第一个结果是：这个“数错的部分”恰好等于某个复数的辐角（即它在平面上的方向角）除以圆周率。这不是近似，而是一个精确的恒等式。

误差永远不超过磁针数的一半。 这个辐角可以一步一步地算：每次“打开”一根磁针，辐角改变一点，而每一步的改变都不超过一个直角。于是 N 根磁针的总误差不超过 N /2。这个界不能再改进：当磁针之间没有相互作用时，误差可以任意接近 N /2。

一个推论：不存在“极限函数”。 素数越多，零点越密：在任意固定的高度范围内，零点个数随磁针数增加而趋于无穷。这意味着，无论怎样调整比例，这个模型都不可能收敛到一个像 ζ 那样的“好函数”：一个好函数在有限范围内只能有有限个零点。在临界线附近，这个模型永远不会变成 ζ 函数。

5 误差像掷骰子

最坏情况下误差可以接近 N /2，但这很少发生。在绝大多数高度上，误差有多大？

素数的对数彼此“不可公度”。 回到钟面的比喻：N 根指针以不同的速度转动，速度分别与 log 2, log 3, log 5, . . . 成正比。这些数之间没有任何整数比例关系，原因是每个正整数分解成素数乘积的方式只有一种（算术基本定理）。数学上有一个经典事实：转速之间没有任何整数关系时，长时间看，这些指针的相对位置就像各自独立地随机掷出来的一样。于是，“误差随高度怎样变化”这个确定性的问题，变成了一个概率问题：N 个随机角度的某个函数，分布是什么样的？

误差是一连串“公平的赌局”。 前面说过，误差可以一步一步地累加起来。第二项结果是：每一步都像一局公平的赌博，平均收益为零，尽管每局下多少赌注，取决于前面各局的结果。数学上，这种结构叫鞅。由此立即得到：误差的平均值为零；误差的方差（衡量抖动大小的量）不超过 N /12。所以误差的典型大小只有 √N /12 量级，远小于最坏情况的 N /2。

零点的抖动等于能量的抖动。 还有一个意外的对应：零点个数的涨落，恰好等于这块磁铁“自由能”的涨落。前者关心的是某个复数的方向，后者关心的是它的大小。两者的抖动幅度一样大，这来自复分析中一条关于全纯函数实部与虚部的普遍规律。

6 一条链：可以精确求解的情形

如果磁针排成一条链，每根只和左右邻居相互作用，问题可以完全解出。关键在于一个几何事实：沿着链一根根“打开”磁针时，已打开的部分与其余部分之间只有一条连接（图 2 左）。因此每一步的赌注大小是固定的，只由这条连接的强度决定，与之前发生了什么无关。各步之间于是完全独立。在二维格子上则不然：已打开的区域有很多条连接伸向外部（图 2 右），每一步的赌注随前面的结果变化，问题就难多了。

图 2: 为什么链可以精确求解。左：链上已打开的区域只通过一条键（红色）与外界相连，每一步都相互独立。右：在二维格子上，已打开的区域有多条键伸向外界，各步之间相互关联。

第三项结果是：对一条链，误差的分布精确地等于 N 个独立随机量之和，每条键贡献一个，大小由这条键的强度决定。抖动幅度和最大误差都有明确的公式，磁针足够多时分布趋于正态（钟形曲线）。图 3 把直接数零点得到的误差与这一理论预言作了比较：两者几乎完全重合。

图 3: 十根磁针的链。(a) 直接数零点得到的误差随高度的变化：最坏情况的界是 ±5（红色虚线），但误差几乎总在 ±0.5 左右（黄线）。(b) 误差的分布（蓝色直方图）与精确理论（红线）重合。

7 与 ζ 函数比一比

相似之处。 两者的零点都在一条竖线上；数零点的误差都是一个辐角除以圆周率；误差的分布都趋于正态。背后的机制也一样：素数的对数彼此不可公度，让各个素数的贡献像独立的随机量。

第一个不同：每个素数的分量。 在 ζ 函数里，素数越大，对误差抖动的贡献越小，大约与素数本身成反比，所以总的抖动增长得极慢，这就是 Selberg定理里那个极慢的增长。在磁铁模型里，每个素数的贡献都是同一量级，所以抖动随素数个数正比增长。论文表明，两者其实来自同一个局部公式：在模型的线上，每个素数“全力”参与；在 ζ 的临界线上，每个素数的作用被它自身大小的平方根压低了。

第二个不同：对称中心。 ζ 函数有一个对称性（函数方程），它的对称中心在临界线上；磁铁模型也有对称性，但它的对称中心在另一条线上。在远离临界线的区域，模型确实会收敛到一个熟悉的函数：ζ(u)/ζ(2u)，这是“费米子素数气体”的配分函数，早已为人所知。可是一旦接近临界线，这个联系就断了。

第三个不同：零点之间的排斥。 ζ 函数的零点彼此排斥，像随机矩阵的本征值。磁铁模型的零点没有这种排斥：磁针之间相互作用弱时，零点像随机撒下的点；相互作用强时，零点趋于等间距排列，像栅栏一样（图 4）。在两者之间，始终看不到 ζ 零点那种特有的统计规律。

图 4: 零点位置的“条形码”（把平均间距统一调成 1）。从上到下：完全随机的点、随机矩阵本征值、等间距点、三种耦合强度下的模型（g 越大耦合越强），以及 ζ 函数的零点。模型从随机走向等间距，没有经过随机矩阵式的排斥。

8 这项工作说明了什么

说明了的。 在一个与 ζ 结构相似的物理模型里，零点的计数可以精确地写出来，误差的大小与分布可以完全刻画：一般情形下误差是一连串公平的赌局，链上误差是独立随机量之和。这是少有的、能把“数零点的误差”算到底的例子。

没有说明的。 零点落在临界线上是 Lee–Yang 定理的直接结果，与素数无关，不能用来证明黎曼猜想。论文也明确指出了模型与 ζ 的三处本质差别：零点越来越密、对称中心不同、没有零点排斥。可以说，这项工作的价值有一半在于“划清界线”：它告诉我们，仅仅把素数装进一个满足 Lee–Yang 定理的物理系统，是得不到 ζ 函数的。

还没有解决的。 对一般的二维格子，误差是否也趋于正态分布？论文把这个问题化为一个具体的条件，即每一步的“赌注”之间的关联随距离衰减，但还没有证明它。这是我们下一步的工作。

参考资料

• T. D. Lee, C. N. Yang, Statistical theory of equations of state and phase transitions II, Phys. Rev. 87 (1952) 410.

• A. Selberg, Contributions to the theory of the Riemann zeta-function, Arch. Math. Naturvid. 48 (1946).

• P. Kurasov, P. Sarnak, Stable polynomials and crystalline measures, J. Math. Phys. 61 (2020) 083501.

• B. Julia, Statistical theory of numbers, in Number Theory and Physics, Springer, 1990.

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