5. 给球安排轨迹
我们再从另一个角度来探讨找怪球问题，仍以12球为例。
先做一下简单的说明。一次使用天平可能的结果是：左重，右重或左右平衡，依次用$L$，$R$和$Ｂ$表示。比如连续用三次天平我们得出结果($LRB$)，就表示第一次左边重，第二次右边重，第三次左右平衡。这个结果本身就有重要的信息，它表明了怪球前两次都在天平上，最后一次不在天平上。不光如此，它还表明怪球在前两次天平上换了左右的位置。如果三次的结果是($LBL$)，则表明怪球第一次第三次都在天平上，并且两次都在天平的同一侧，第二次不在天平上。
我们分别用$l$，$r$，和$b$表示一个球在天平的左侧，右侧和不在天平上。($rlb$）就表示该球三次称球依次在天平的右侧，左侧和不在天平上。($rlb$)就是该球的轨迹或者行迹。如果三次称球的结果是($LRB$)，那么轨迹为($lrb$) 和($rlb$)的球就行迹可疑。如果行迹可疑的球只有一个，那么它就是怪球了。一般说来，一个轨迹中如果将l换成$r$，将$r$ 换成$l$，我们就得到另一个轨迹。这样的两个轨迹可以配成对，总是同时成为怀疑对象，所以如果选择其一做为可用的轨迹，就能唯一的从三次称球结果中确定怪球。
三次称球有多少不同的轨迹呢？总共有$3 \times3\times3=27$种。成对的有26种。轨迹($bbb$)表示什么意思？它表示该球从未上过天平。不上天平如何知轻重？所以我们排除不用。轨迹($lll$)和($rrr$)在同一对，表示该球始终在天平的同一侧，我们也排除不用。换句话说，如果一个轨迹是始终不变，我们就排除不用。这样就只有12对可用的轨迹了，每一对只取一个，就是12个可用轨迹。
因为我们排除了始终没有变化的轨迹，每个轨迹就至少会发生一次变化。
第一次发生变化叫首发变化。比如，轨迹($llr$)的首发变化出现在第三次称球，该轨迹所代表的球从左边移到了右边。轨迹($lrb$)的首发变化出现在第二次称球，该轨迹所代表的球也是从左边移到了右边。 把$l$，$r$， $b$按顺时针方向依次摆在一个圆圈上，$lr$， $rb$和$bl$这三种变化叫顺时针变化， $rl$， $lb$和 $br$则叫逆时针变化。这样根据首发变化可以把所有有变化的轨迹分为两类：顺时针轨迹和逆时针轨迹。在每一对会同时引起怀疑的轨迹中，一个是顺时针轨迹，另一个为逆时针轨迹。
我们将12对轨迹排列成如文后的列表：第一列是12个不同的球，第二列对应的是顺时针轨迹，第三列对应的是逆时针轨迹。我们可以选择第二列或第三列作为我们要使用的轨迹，比如选择顺时针轨迹。使用轨迹确定了，如何使用天平也就确定了。在选择使用顺时针也就是表中第二列的情形下，三次称球依次如下：
(1) 天平左边： 1，2，3，4； 天平右边：5，6，7，8
(2) 天平左边： 1，10，11，12； 天平右边：2，3，4，5
(3) 天平左边： 3，6，9，10； 天平右边：1，4，8，12
假如三次结果为($LRB$)，说明了什么？它说明了($lrb$)所对应的2号球就是怪球。那么它是重还是轻呢？假如它为轻，三次结果应该是（$RLB$）而不是 ($LRB$)，所以它应该为重。我们也可以通过下面的简单办法确定轻重。
在得到一个三次结果后，把大写字母变成小写字母就得到了一个轨迹，我们称之为该结果的本色轨迹；如本色轨迹在使用的顺时针列中就表示该球重，否则就表示该球轻。
比方说结果是($LRB$)，它的本色轨迹是($lrb$)，出现在我们选用的顺时针轨迹那一列中，所以该球为重。如结果是（$RLB$），它的本色轨迹是($rlb$)，不在使用的轨迹中，所以该球为轻。
这个方法可以推广到k次称球，所以我们能够通过使用k次天平找出 $(3^k-3)/2$个球中的一个怪球并知轻重。
$\begin{array}{rll}
1 & llr & rrl \\
2 & lrb & rlb\\
3 & lrl & rlr\\
4 & lrr & rll\\
5 & rrb & llb\\
6 & rbl & lbr\\
7 & rbb & lbb\\
8 & rbr & lbl\\
9 & bbl & bbr\\
10 & bll & brr\\
11 & blb & brb\\
12 & blr & brl\\
\end{array}$
