数学500年：新的黄金时代？（2）

500 Years of Mathematics: Are We Living In A New Golden Age?

 作者：Chris Budd, University of Bath

2. 

在这500年不仅见证了代数的革命，也见证了我们对这个世界的运作机制的理解革命。为了解决那些物理问题，直接导致了微积分的发明。而微积分带来的不仅是令人难以置信的数学进展，还有数不胜数的广泛应用。可以说，没有微积分，或许就没有现代世界的一切科学与技术。

这场革命始于两个事件。

第一个事件是在物理学家研究物体的运动时掀起的运动学革命。

1543年，哥白尼（Copernicus）发表著作《天体运行论》，在这本书中，他颠覆性地提出当时已知的6颗行星是绕着太阳公转的。当然，作为一个早期的日心说理论，它并不完美。

哥白尼的模型在1610年左右得到了“拯救”，那时，开普勒（Kepler）发表了著名的三大运动定律。开普勒不仅是一位天文学家，还是一位杰出的数学家，根据他的运动定律，我们得知了：

1. 所有行星都在以椭圆轨道绕着太阳运动，太阳在椭圆的其中一个焦点上；
2. 在相同的时间内，行星所扫过的面积相等；
3. 行星的运动周期的平方正比于椭圆长半轴的立方。

开普勒定律与观测结果完全吻合，其预测也与伽利略（Galileo）用望远镜所观测到的一致，可以说，是开普勒定律让日心说得到了广泛的接受。

第二个事件是力学定律的发现。   

伽利略是力学的先驱，他是第一个意识到物体在地球引力作用下会按照抛物线的路径移动，而且他还意识到所有惯性系都是等价的。1643年，在伽利略去的一年后，牛顿（Newton）出生了。

在牛顿的巨著《原理》中，他阐明了力学三大定律，将力的作用与物体的运动联系了起来。在书中，牛顿还提出了万有引力定律，即在两个相距为r，质量分别为M和m的物体之间，其引力作用为 

牛顿的力学原理让他可以成功推导出开普勒的运动定律，为开普勒定律奠定了坚实的理论基础。按照希腊留下的传统，牛顿用几何学语言在《原理》中提出并证明了这些结果。然而最开始，他是用微积分的方法推导出来的。

微积分是一门研究事物如何变化的学科，它有两个重要的概念，一个是导数，一个是积分。求导可以让你知道一条曲线的斜率，而积分能让你求得曲线下的面积。

不过，微积分并不是牛顿一个人创造的，它的许多基本概念都是基于像沃利斯（Wallis）、笛卡尔（Descartes）、费马、开普勒等数学家的想法。此外，几乎在与牛顿相同的时候，莱布尼茨（Leibnitz）也提出微积分的关键思想。

莱布尼茨用代数形式表述了这一想法，并引入了用于计算的现代符号，与牛顿的几何符号相比，莱布尼茨让微积分的使用变得容易了很多，导致微积分在欧洲大陆的迅速发展，当然也它导致了英国数学家和欧洲数学家之间的分裂。

在接下来微积分的发展中，欧拉成为了一个主要的领军人物。他不仅创造了微积分理论中的许多基本结果，而且还为它们找到了重要的应用。牛顿和莱布尼茨是通过观察当单个变量在变化时函数发生的变化而推导出了微积分。而欧拉将其扩展到观察一个函数在所有变量函数发生变化时，函数会如何变化，这一概念叫做变分法。

1788年，法国数学家拉格朗日（Lagrange）将欧拉的想法进一步拓展，并最终成为了现代物理学和工程学的核心。利用变分法，拉格朗日将得到了微分方程系统，这类系统的解描述了系统的运动。最初，拉格朗日想用它们来研究力学问题，但同样的方法也在描述基本粒子（包括希格斯玻色子）的标准模型中运用。

另一个因这种方法受益的领域是流体力学，这也是由欧拉提出的。在现代日常生活中，我们每天都要用到欧拉方程来预测未来的天气和气候。

尽管牛顿、莱布尼茨和欧拉都很喜欢使用微积分，而且它几乎有无穷的应用，但人们对它的基本定义仍有一些担忧。直到19世纪，在柯西（Cauchy）对极限与无穷大等问题打下坚实的基础之后，这些问题才真正得到解决。这远不止解决了微积分的一些技术性上的难题，还导致了数学中的分析领域的发展。

复分析就是其中一个重要的例子，它是对复变量函数性质的系统研究。这门学科在数论、流体力学、傅里叶分析、信号处理、数值分析、图形学以及数学、物理和工程的任何需要用到积分的领域中都有重要应用。

牛顿在17世纪发明了微分方程，到了18世纪，拉普拉斯（Laplace）进一步地推动了它的发展，之后，人们便认为微分方程是描述现实世界运行方式的最佳方式了。以二阶微分方程为例，这是些看起来简单，却难以精确求解的微分方程。尽管无法做到精确求解，但我们可以通过两种方法来得到解析表达式。    

首先就是用几何方法求解，这种技术是在19世纪末由法国数学家庞加莱（Poincare）首创的，它非常强大，导致了求解微分方程的动力系统理论的产生，其中的一个重要结果就是现代混沌理论。

第二种方法是要依靠强大的计算机算法来求出近似解，这种方法能让你控制想到达到的精度水平，具有很强的洞察力和预测能力。

（未完待续）

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