数学家的故事（22）Dedekind

理查德·戴德金 Julius Wihelm Richard Dedekind. 1831 – 1916

大家一定还记得，古希腊数学家 Pythagoras（毕达哥拉斯）曾经以为万物皆数，就是我们现在的有理数。当门徒发现了无理数时，一时不知所措。他们没法解决出现的问题，于是先解决了发现问题的人：将那个倒霉蛋抛进大海喂鱼了。

无理数并非是不讲理的数，它只是不能表达成两个整数之商的数。以后我们会知道，无理数其实很多。和无理数相比，有理数简直少得可怜，少得微不足道。这是德国数学家 Cantor （康托）告诉我们的。

万物皆数是太朴素了一点，有点 too simple, sometimes naive。不过，如何让直线上每个点都对应一个数，还是大家热衷和追求的。微积分的数学基础就需要对实数有个严格的定义。它需要让直线上的每个点对应唯一的一个实数。这正是著名的Cantor-Dedekind 公理所要求的。

经过两千多年的沉淀，大家对有理数已经很清楚了，但对无理数还是琢磨不透。如何进一步描述无理数，一直困扰着大家。直到德国数学家 Dedekind （戴德金）提出了有理数分割的概念，大家才如释负重，终于喘了一口气。

什么是有理数分割呢？

给定一条两端无限延伸的直线，并在直线上选定一个原点，直线上的有理数就清楚了。不妨假定直线是水平放置的，原点对应整数 0，0 左边的数都小于 0，0 右边的数都大于 0。接下来在直线上随便给一个点 $x$，我们在这个点上用剪刀把线剪断，这样就得出两根线，左边的线向左无限延伸，右边的线向右无限延伸。左边线上的所有的有理数构成一个集合 $A(x)$，并且约定，如果 $x$ 是有理数，则 $x$ 不在$A(x)$中。自然，如果 $x$ 不是有理数，$x$ 更不可能在 $A(x)$中。这样直线上的每个点 $x$ 都唯一对应了一个有理数集合 $A(x)$。有了这种一一对应，我们干脆就把 $A(x)$和 $x$等同起来，也就是说，有理数集合 $A(x)$就是实数 $x$。所以有理数 $x$ 就等同于所有小于 $x$ 的有理数集合。

在日常生活中，也有把一个集合和集合中某个元素等同起来的例子。比如一个家庭，指的是这家庭里的所有人，但我们也常用户主和家庭等同起来，尽管户主只是家庭的一成员，一分子。不同的是，我们是用不在集合中的数来等同一个有理数集合。通过这样的等同，直线上的每个点 $x$ 定义了唯一的一个实数 $x$，也就是对应了一个实数 $x$。比如，我们可以定义什么是根号 2。它所对应的集合 A 就是所有小于 0 的有理数和所有的平方小于 2 的有理数之合集。

自然，我们目前只是定义了什么是实数，我们还必须给这些数赋予加减乘除等运算以及如何比较两个数的大小。并且验证这些运算完全符合我们已知的常识。比如，当限制在有理数时，所有运算结果和我们以前的结果相同。这些都经过了数学上的严格证明，我们就不细说了。

这样一来，分析中曾经困扰我们的问题都解决了。为了记住 Dedekind 的贡献，大家也把有理数分割叫做Dedekind 分割。

Dedekind 的全名是 Julius Wilhelm Richard Dedekind，生于 1831 年 10 月 6 日，终生未婚。Dedekind 是四个孩子中的老幺，爸爸叫 Julius Levin Ulrich Dedekind，是法律教授。Dedekind 出生在德国的 Brunswick（布朗斯威克），那里也是数学王子 Gauss （高斯）出生的地方。

从七岁到十六岁都在老家的学校接受教育。早年的兴趣是物理和化学，并未展现数学上的天赋，十七岁时进了 Caroline 学院，Gauss 也在那里上过学。他在那里学习了解析几何，高等代数，微积分等数学课程，为以后在哥廷根大学的进一步深造打下了良好的基础。1850 年他十九岁时进了哥廷根大学。

Dedekind是 Gauss 的关门弟子，于 1852 年获得博士学位。当时德国数学最好的大学是柏林大学。获得博士学位后，Dedekind 就去了柏林，在那里继续学习了两年。

Dedekind 的数学成就很大，但他的职业生涯却很一般，下面是他的简历

1854 年—1858 年，哥廷根大学的无薪讲师。在这期间，他第一次讲述了Galois 理论。经常旁听 Dirichlet (狄利克雷）的数学讲座。1855 年 Gauss 去世后，Dirichlet 填补了 Gauss 留下的空缺。
1858 年—1962 年，瑞士 Zurich Polytechnic 的教授。
1862 年—1894 年，Dedekind 在他的家乡 Brunswick 一所职业中学任教。
1894 年退休。退休后还时有教学，数学研究并未间断。1899 年德国的数学家年鉴报道：Dedekind 于 1899 年 9 月 4 日不幸去世。