数学家的故事（6）Euclid

Alexander the Great（亚历山大大帝）死了，他的帝国分裂成了三个国家。内战是少不了的，到了公元前306年，埃及牢牢控制在Ptolemy （托勒密）的手中。Ptolemy一世是个开明的君主，这时就可以专注于精神文明的建设了。

他在Alexandria（亚历山大港）建了一所学院，叫博物馆。博物馆名气很大。它要叫第二，世上谁敢称第一？不光如此，他还聘请了当时各地有名的学者，收集了大量藏书。据说藏书有70多万册。

在众多的学者当中，有一位叫Euclid（欧几里得），是数学家。他写的Elements (《几何原本》)，一直流传至今。非常遗憾，这么一位影响巨大的人物，世人对他的生平却所知甚少。

他是一位慈祥和蔼的老人，既谦逊又公正。他的几何原本，编辑整理了前人的工作，他力求准确地把荣誉赋予给真正的发明者。

据说有位学生在学习第一个定理时就问：“学这玩意，我能得到什么呢？” Euclid吩咐他的佣人：“给他几分钱吧，他想学有所获。”

估计几何在当时是高大上的东西，Ptolemy也心里痒痒，想学着玩玩。当然他没兴趣一个定义一个定理地学。做君王的谁有哪个耐心？他自然想找捷径。Euclid告诉他：“There is no royal road to geometry”。哈哈，历史有时就是惊人的相似。还记得同样想走捷径的Alexander the Great 吗？

古人最早接触的数是自然数，就是1，2，3，……，而在自然数中有一类特殊的数被称为素数。素数就是大于 1 但只能被 1 或者自己整除的数，比如2，3，5，7，等等，而4，6，8，9，等就不是素数，而是复合数。很自然碰到的问题就是，素数有多少呢？Euclid证明了有无穷多。证明很奇妙，用的是反证法。就是先假设只有有限多个素数，比如n个，然后再导出荒唐的结果，从而说明原来的假设有误。

他是这么证明的，假如只有n个素数，分别是p1，p2，……，pn。然后他又构造一个数N=p1 * p2* …* pn+1。然后他问，N是什么数呢？不能是素数啊，因为已假设素数只有n个，它们都比N小，所以只能是复合数，换句话说，应该有一个比它小的素数能够除尽它。但从N的构造中可以看出这样的素数并不存在，从而导致N既不是素数，又不是复合数，由此产生了矛盾。产生矛盾的根源在于假设是错的，所以素数有无穷多个。

几何原本有十三篇，其中第五篇专门讲解Eudoxus （欧多克索斯）的比例理论。据说成就最大的就是这篇。有兴趣的朋友可以读一读由Morris Kline（莫里斯·克莱因）写的“Mathematical Thought from Ancient to Modern Times”（《古今数学思想》）。

有人问，比例理论完全解决了无理数问题吗？没有！那还得再等两千多年。到了19世纪，一个叫Dedekind （戴德金，1831—1916）的德国数家才把无理数的问题彻底解决了。

据估计Euclid可能生于公元前325年，卒于哪年？连估计都没有了，不能不说是个遗憾。

78621注：78621注：题头图是拉斐尔有名的《雅典学院》。拉斐尔在这副画里画了50几个古罗马和古希腊的主要哲学家。虽然很多人物可以证实为具体是谁，但是拉斐尔并没有真正把这幅画作为一副肖像画来画。里面有的人物其实是用了另外的人的面貌。画中欧几里得正和人讨论几何问题。