本篇可以称为“外一篇”,因为它不涉及欧几里得几何的内容,跟公理、定理无关。但它的确是关于几何图形的,内容也相当神奇且美观。所以它跟Morley’s trisector theorem 和John’s theorem一样,在我家的墙壁上占有一席之地。
整整一百年前的1923年,在波兰的University of Lwoów,有两个学习数学的学生Zbigniew Moroń和Wladyslaw Orlicz。他们在课上听教授说起完美矩形(perfect rectangle,或称squared rectangle)的问题。这个问题早就有人提出来,但无人能解决。
问题是这样的:是否存在整数边长m x n的矩形,它能被分割成多个不同大小整数边长的正方形?在这个问题中,“不同大小整数边长”是关键。假如有一个2 x 3的矩形,我们当然能把它分成六个1 x 1的正方形,一点意思都没有。
两个年轻人兴致勃勃地开始研究这个问题,但过了一段时间,他们就得出结论,这恐怕和许多表面上看似简单的数论问题一样,其实是极为困难的。Orlicz放弃了,他后来成了大学教授;Moron(唉,这个词在英文里的意思太不好了!)继续坚持,他一辈子当中学数学老师。在苦苦探索了两年(不算太长)后,他就有了突破。1925年,他用波兰语发表了论文《论将矩形分解为正方形》。而且,他一下子发现了两个这样的长方形,如下图所示:
矩形A 边长为 65×47,是10阶(order,即组成它的正方形的数目)。这个矩形就是在我家墙上挂的那个;矩形B 边长为33×32,它很像正方形,但不是。它只有9阶。Reichert 和 Toepkin 在1940 年证明,9阶是完美矩形的最小阶数。少于9个正方形是不可能拼成一个矩形的。也就是说,Moron在一开始发现的那个33 x 32的矩形,已经是最简单的完美矩形。
在得到一个完美矩形以后,你可以在任何一边添加相同边长的正方形,进而无限扩大矩形。通过交替边继续这个过程,加入的正方形边长可以类似于斐波那契数列(Fibonacci sequence),这是很有意思的现象。
随后的几年,越来越多的完美矩形被发现了(不是以上面那种以无限交替重复方式得到)。仅一位日本老兄安倍路生(Michio Abe)就发现了600多个。于是有人就问,是否存在完美正方形(perfect square,或squared square)呢,即是否存在整数边长的正方形,它能被分割成多个不同大小整数边长的正方形呢?人们寻找了一段时间,没有答案。于是有人怀疑这样的正方形是不存在的。
在寻找的过程当中,有人提出了一个思路:如果存在任何一个 a x b 的矩形,它不仅是完美矩形,而且可以有两种方式拼成,那么边为 (a+b) x (a+b) 的正方形就一定是完美正方形。
照着这个路子,德国人Roland Sprague去构架和寻找。终于,他在1939年发现,以1885 x 2320 为边长的矩形可以用两种(上图的X 和 X’)方式构成为完美矩形,这样,一个边长为4205(=1885 + 2320)的完美正方形就找到了,它由55个小正方形组成(图Y)。随后,其他人通过类似的方法,又得到了一些更简单的完美正方形。
到了1962年, 荷兰数学家Arie Duijvestijn证明,不存在低于 21 阶的完美正方形。然而这个21阶的完美正方形在哪里呢?又过了16年,到了1978年,这个唯一的阶数最小的正方形,被Duijvestijn 找到了。这是一个 112 × 112 的完美正方形(图A)。此外,人们还找到了三个边长更短(均为110),阶数为22 和23的完美正方形。其中两个还是由Duijvestijn贡献的(即图B和D)。
有人可能会进一步想,如果扩展到3维空间会怎么样呢?一个边长为整数的长方体或正方体,是否可以被边长为整数的不同的大小的正方体完全填充呢?其实,你只要发挥一点儿空间想象力,这个问题的答案出奇地明确!
写到这里,这个几何系列文章就告一段落了。日前,我突然想到,其实我自己也有一个手工几何作品呢,我都几乎忘记了。
这是一个木制的jigsaw puzzle,它是整整20年前,我为儿子周岁做的生日礼物。经过了这么多年,虽然有些磨损,但色彩还是那样的鲜亮。我不知道这个礼物对孩子后来到底产生了什么影响。但我精心设计、做出这样一个东西,也仿佛是给自己的一份礼物。在后来的岁月里,我陪他走过了迥然不同于一般孩子的、跌宕起伏的人生道路。最终,他站立起来,走出家门,以他的方式去独立面对这个世界了。今天,看着这个jigsaw puzzle,想到在3000英里外的那个沉默而忙碌的孩子,我心中百感交集……
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