数学中的悖论

数学中的悖论

“我正在说谎！”，这句话是对还是错呢？这是一个挺烧脑的问题！

假如它是对的，那就表明我眼下正在说谎。既然眼下正在说谎，就表示那是谎话，所以它是错的。假如它是错的呢？那又表明我不是说谎，说的是真话，可它要是真话，又说明我在说谎了。这样的车轱辘话说起来就没完没了，就产生了悖论！

这个悖论被称为“说谎者悖论”，有很多变种，“卡片悖论”就是其中之一。卡片悖论是这样描述的：

有一张卡片，正面写有一句话：“反面所说为真！”。反面写的是：“正面所说为假！” 。现在的问题是，哪一面的陈述为真呢？这和说谎悖论一样烧脑。

这种文字中出现的悖论，尽管烧脑，而且历史也很悠久，我们可以置之不理。活着已经不易，谁有功夫为它操心？

但在数学中出现类似悖论，就不得不叫人担忧了。

德国著名数学家Hilbert曾经说过：集合论是Cantor为我们建造的天堂。谁能想得到，天堂中同样有悖论。

据说Cantor自己就发现了一个悖论，自然得称为“Cantor 悖论”。有一天他突发奇想，由所有集合组成的集合，是个什么样的集合呢？这样一个想法，就让他陷入困境，进退维谷。

每个集合都有一个基数，而且每个集合都有一个相对应的幂集合。Cantor本人证明了一个集合的幂集合的基数比该集合本身的基数还要大。不妨将所有集合组成的集合称为万有集合，它是所有集合中的老大，王中之王。现在问题来了，它的基数是什么？并且它也包含了它的幂集合，它和它的幂集合谁的基数更大？谁又是真正的王中之王？

集合论中还有一个有名的悖论，是由英国数学家和逻辑学家Bertrand Russell发现的，所以叫 Russell悖论。

有没有可能，一个集合本身又是该集合的一个元素？有的。比如Cantor所定义的万有集合就同时又是自身的元素。这样我们可以把集合分为两类，一类是该集合不是自身的元素，我们称之为通常意义下的集合，或者常规集合，另一类是包含自身作为元素的集合，我们称之为非常规集合。现在我们定义一个集合R，它是由所有常规集合组成的集合。这样问题又来了，R是常规集合还是非常规集合？这就是著名的Russell悖论。

Russell悖论也有一个生活化的版本，说的是某个村庄有位理发师，考虑到村里有些人自己能给自己修脸，也有些人自己不能为自己修脸，于是夸下海口：他一定要帮那些不能给自己修脸的人修脸，但是绝对不给那些自己能为自己修脸的人修脸。有人好奇，问：那你给自己修脸吗？

数学家们对真理的追求有时真是一根筋：数学中出现了悖论可不是小事一桩，得想方设法去补救。Hilbert倡导一种方法，被称为形式主义。他主张通过找出有限条不证自明的公理，以此作为根基来构建和谐的完备的数学大厦。何为和谐？就是要具有不矛盾性：不允许导出自相矛盾的结果。完备性就是要求所有真实的数学命题也就是通常所说的定理一定能够被证明。数学中不存在证明不了的定理，数学中不允许有不可知！

他的一句名言被刻在他的墓志铭上：我们必须知道，我们必能知道！

Hilbert在1930年退休，退休时他在他的出生地Königsberg说出了这句名言。有谁能想到，就在Hilbert说出名言的前几天，一位年纪轻轻的名叫Kurt Friedrich Gödel的奥地利数学家就成功地证明了一个震撼世界的结果：在任何一个包含基本算术在内的公理体系中，一定存在真实的数学命题它的真实性无法被证明。这就是Gödel著名的不完备定理。

1963年，斯坦福大学的数学家 Paul J. Cohen 证明了连续统猜想就是不可证明也不可证伪的一个问题。难怪Cantor老是在该猜想的真伪中徘徊，一会觉得已经能够证明它是对的，一会又觉得可以肯定它是错的，最后只好住进了精神病医院。

唉，事与愿违，数学中还真就有不可知！

On 11/16/2021 @ 21:39