命题二证明中的纰漏
回过头来看看第一节，那里宣称给出了Gödel不完备性定理的一个存在性证明。现在我们要指出那里的证明是有瑕疵的。
瑕疵在哪里呢？
那里的证明主要是下面两个命题：
命题一：所有可以在系统内部获得证明的真命题所组成的集合是可数的。
命题二：所有的真命题所组成的集合是不可数的。
命题一有错吗？没有！实际上所有命题所组成的集合都是可数的。证明这点并不困难，因为每个命题对应一个Gödel数，而所有自然数是可数的，所以所有命题组成的集合也是可数的。
这么说来，是命题二错了？
命题二是这样证明的：因为我们的形式系统包含了所有的自然数，而所有自然数子集合组成的集合(也就是自然数集合的幂集合)是不可数的。对每一个这样的子集合A，下面两个命题之一必定为真命题:
1是A中的元素和1不是A中的元素。
于是所有真的命题是不可数的。
证明粗看好像说得过去，仔细推敲就有问题。问题在哪里？
问题就是我们的形式系统不能保证生成下面的命题：
对自然数的幂集合中的每个集合A，1是A中的元素或者1不是A中的元素。
换言之，我们并未证明在给定的形式系统之内所有真命题的不可数性。
为了说明问题，我们举个例子。
众所周知，e是数学中最重要的常数之一，而且我们也知道下面的命题是真的：
命题：e是一个超越数。
但是在数论体系里，该命题是不可能出现的，因为e是分析中产生的数，它的定义涉及到极限的应用。
为了使本文相对完整，接下来我们要给出不动点引理的一个证明。
不动点引理的证明
现在我们证明下面的不动点引理：
任意给定一个命题函数P(x)，一定存在一个自然数m使得m=$\mathcal{G}$(P(m))，这里的$\mathcal{G}$(P(m))是命题P(m)的Gödel数。
我们已经知道所有命题组成的集合是可数的，同样可以证明所有单变量的命题函数也是可数的。假设清单
$F_1(x), F_2(x), \cdots, F_n(x), \cdots, $列出了所有的单变量命题函数。
接下来我们考虑命题函数 $F(x)=P(\mathcal{G}(F_x(x)))$. 由于单变量命题函数的可数性，$F(x)$必定出现在前面的清单之中，于是存在某个自然是$n$使得$F(x)=F_n(x)$， 即 $P(\mathcal{G}(F_x(x)))=F_n(x)$。
令$x=n$，于是$P(\mathcal{G}(F_n(n)))=F_n(n)$。现在$F_n(n)$是个命题，不防用A表示，于是有
$P(\mathcal{G}(A))=A$。假设$\mathcal{G}(A)=m$，对等式$P(m)=A$两边的命题分别取Gödel数，就有
$\mathcal{G}(P(m))=\mathcal{G}(A)$，即$\mathcal{G}(P(m))=m$。
至此证明完毕，我们的短文也告一个段落。
