本文我们要谈谈Gödel的不完备性定理，该定理被称为二十世纪最伟大的数学成果之一。
Gödel第一不完备性定理的存在性证明
德国数学家Cantor创建了集合论，用同样是德国数学家的Hilbert的话来说，就是为数学建造了一个天堂。现代数学的很多分支，就是建造在集合论的基础之上。然而二十世纪初英国逻辑学家和数学家Russell发现的悖论，直接引发了数学史上的第三次危机。
为了处理这场危机，分别产生了三个不同的数学学派，它们是逻辑学派，直觉主义学派和形式系统或形式主义学派。Hilbert就是形式系统学派的领军人物。
形式系统学派的目标是要把数学建立在一套无矛盾的并且是完备的形式系统之上。
一个系统如果不会导出相互矛盾的结果，该系统就是无矛盾的，英文单词是consistent。一个能够由公理和已知定理根据系统内的规则推导出来的命题就是真命题，也就是定理。在一个无矛盾的系统中，不可能出现一个命题和它的否命题同时为真的情况。
什么是完备性？在一个形式系统中，一个命题可以是真的，也可以是假的。系统的完备性要求，所有的真命题都能通过该系统的内部规则推导出来。也就是说，一个命题为真当且仅当它可以通过该系统的内部规则推导出来。换句话说，一个系统如果不完备，就一定存在某个命题是真的，但却不能通过该系统的内部规则推导出来。经过该系统的内部规则推导的过程也叫证明。
Hilbert是二十世纪最伟大的数学家之一，也是最后一位在数学的几乎所有领域都有重大贡献的数学家。他在1900年召开的第二次国际数学家大会会上提出的23个著名的数学问题对数学发展产生了巨大的影响。Hilbert认为数学领域不应该有不可知，所有的真命题都应有令人信服的证明。他的墓志铭刻着他的名言：我们必须知道，我们定能知道！
Gödel第一不完备性定理：在任何一个包括自然数体系的形式系统中，如果该系统是无矛盾的，那么它一定是不完备的。
该定理直接颠覆了Hilbert的认知：数学中的确存在不可知。
Gödel第二不完备性定理：任何一个包括自然数体系的形式系统，它自身的无矛盾性不可能在系统内部获得证明。
非常有趣的是第二不完备性定理可以由第一不完备性定理导出。
Gödel的第一完备性定理可以通过证明下面的两个命题而获得：
命题一：所有可以在系统内部获得证明的真命题所组成的集合是可数的。
命题二：所有的真命题所组成的集合是不可数的。
下面就分别给出两个命题的粗略证明。
一个命题如果可以证明，就一定有一个最短的证明。这样每一个可以证明的命题就可以对应一个长度有限的字符串。因为所有长度有限的字符串是可数的，所以所有可以证明的命题是可数的。
为什么所有的真命题是不可数的呢？因为我们的形式系统包含了所有的自然数，而所有自然数子集合组成的集合(也就是自然数集合的幂集合)是不可数的。对每一个这样的子集合A，下面两个命题之一必定为真命题：1是A中的元素和1不是A中的元素。于是所有真的命题是不可数的。
这实际上就是说几乎所有的真命题都是不可证的，因为可证的仅仅只是可数的那一小部分。换句话说，该系统不仅仅不完备，而是非常非常的不完备，几乎所有的真命题都无法通过系统的内部规则得到证明，这实在叫人难以置信。
如果把一个命题为真但却不能通过系统的内部规则得到证明的命题叫做Gödel命题，那么几乎所有的命题都是Gödel命题。
在我的《数学家的故事》中有一节谈到Cantor，那里提到超越数。记不记得几乎所有的实数都是超越数，而要找出一个具体的超越数却异常困难？Gödel命题和超越数就有异曲同工之妙。
法国数学家Liouville成功地构造了第一个超越数。同样，奥地利数学家Gödel也巧妙地构造了第一个Gödel命题。
（未完待续）
按照命题1的推理，似乎也可以证明所有的命题是可数的？
这涉及到如何定义命题，假如命题是由有限长的字符串组成，那就有限了。不知道命题的精确定义是什么，欢迎大家一起讨论。
我理解的命题是可以通过系统外的文字表达的。
你的问题非常有意义。我仔细想了想，命题应该是系统中的长度有限的字符串组成，因为我们要给命题定义Gödel 数。这样就如你所说：所有的命题是可数的。
可是命题二好像没有毛病啊，这样就产生了悖论：所有的真命题不可数，但所有的命题却可数。
其中哪里必有妖孽……
龙兄过奖，还在学习细节。
对于任意自然数的子集A，1是A中的元素或1不是A中的元素，是可经有限步证明的吧？请指点。
不一定。如后面的形式系统中会问到，MU是定理吗？在系统内回答这个问题会很难。
我印象不完备定理是建立在包括皮亚诺公理的系统中的。因此自然数是良序的，任一自然数子集都有一个最小元a。(a=1)的真假是可判定的吗？
MIU系统只有一个公理，不知它包括不包括皮亚诺公理。如果是，就说明皮亚诺公理可由一个公理推出？
它是一阶的吗？谢谢！
MIU是一个简单的系统，没法定义自然数，应该不包括皮亚诺公理。我不懂数理逻辑，对其中很多术语都不清楚。我还在学习细节，努力把学习过程中的心得写下来，有些东西也不是十分清楚。正如龙冰兄所言，细节是魔鬼，要花费很多精力和时间。你问它是不是一阶的，我真不清楚。
本人也是外行而好奇，更没有时间。
也借此问龙冰老同学好！
抓住了 Godel 第一不完备定理证明的要点，把细节这个魔鬼赶跑了。佩服！